Question

【題目】.證明：

（1）當(dāng)，；

（2）對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題解析：

證明：（1）考慮函數(shù)，，

則的導(dǎo)數(shù)，

從而，

故在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，

因此對(duì)任意，都有，

即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）①，

所以當(dāng)時(shí)，，即；

（2）由①可知當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，②；

當(dāng)時(shí)，③.

令函數(shù)，，

注意到，故要證②與③，只需證明在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.

事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，

.

綜上，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，.

點(diǎn)睛:本題函數(shù)的解析式為背景，旨在考查與函數(shù)有關(guān)的不等式的證明的方法，以及運(yùn)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)去分析問題和解決問題的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答第一問時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)，，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一研究函數(shù)單調(diào)性的工具，進(jìn)行分析推證從而使得問題獲證；第二問的推證這是運(yùn)用分析轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后再構(gòu)造函數(shù)，，運(yùn)導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析證明的，整個(gè)推證過程充分運(yùn)用分析、綜合的常用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析推證，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運(yùn)用。不等式的證明問題是高考和各級(jí)各類考試的難點(diǎn)內(nèi)容和題型，求解時(shí)應(yīng)具體問題具體分析靈活采用不同的方法進(jìn)行綜合運(yùn)用，以達(dá)證明之目的。