【題目】.證明:
(1)當,;
(2)對任意,當時,.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題解析:
證明:(1)考慮函數(shù),,
則的導數(shù),
從而,
故在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,
因此對任意,都有,
即(當且僅當時,等號成立)①,
所以當時,,即;
(2)由①可知當時,,
即當時,②;
當時,③.
令函數(shù),,
注意到,故要證②與③,只需證明在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增.
事實上,當時,
;
當時,
.
綜上,對任意,當時,.
點睛:本題函數(shù)的解析式為背景,旨在考查與函數(shù)有關(guān)的不等式的證明的方法,以及運用所學導數(shù)知識去分析問題和解決問題的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答第一問時,先構(gòu)造函數(shù),,然后運用導數(shù)這一研究函數(shù)單調(diào)性的工具,進行分析推證從而使得問題獲證;第二問的推證這是運用分析轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想進行等價轉(zhuǎn)化,然后再構(gòu)造函數(shù),,運導數(shù)知識進行分析證明的,整個推證過程充分運用分析、綜合的常用的數(shù)學思想方法進行分析推證,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用。不等式的證明問題是高考和各級各類考試的難點內(nèi)容和題型,求解時應具體問題具體分析靈活采用不同的方法進行綜合運用,以達證明之目的。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在頸椎病患者越來越多,甚至大學生也出現(xiàn)了頸椎病,年輕人患頸椎病多與工作、生活方式有關(guān),某調(diào)查機構(gòu)為了了解大學生患有頸椎病是否與長期過度使用電子產(chǎn)品有關(guān),在遂寧市中心醫(yī)院隨機的對入院的50名大學生進行了問卷調(diào)查,得到了如下的4×4列聯(lián)表:
未過度使用 | 過度使用 | 合計 | |
未患頸椎病 | 15 | 5 | 20 |
患頸椎病 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 25 | 25 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握認為大學生患頸錐病與長期過度使用電子產(chǎn)品有關(guān)?
(2)已知在患有頸錐病的10名未過度使用電子產(chǎn)品的大學生中,有3名大學生又患有腸胃炎,現(xiàn)在從上述的10名大學生中,抽取3名大學生進行其他方面的排查,記選出患腸胃炎的學生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù)與公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線平行于直線,求的值;
(2)討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)在上的最小值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在x = 2處的切線與直線垂直.
(Ⅰ)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在,使成立,求m的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a-.
(1)求f(0);
(2)探究f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若f(x)為奇函數(shù),求滿足f(ax)<f(2)的x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二分法是求方程近似解的一種方法,其原理是“一分為二、無限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的值( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為.若直線與圓C相交于不同的兩點P,Q.
(Ⅰ)寫出圓C的直角坐標方程,并求圓心的坐標與半徑;
(Ⅱ)若弦長|PQ|=4,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是________.
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