Question

【題目】已知函數(shù)，且.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過導(dǎo)函數(shù)當(dāng)和時(shí)的正負(fù)來確定原函數(shù)的增減區(qū)間；

(2) 通過證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個(gè)根，從而證明函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

（1），，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，由得，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設(shè)，則 ，

故為上的增函數(shù)，

又由于，因此且有唯一零點(diǎn)1，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)中的應(yīng)用. 解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò). 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的求解問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)通常是證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個(gè)根，從而證明函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).