Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

(1)利用面面垂直的性質得到線面垂直，再由線面垂直的性質得出；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；

(3)由，C，M三點共線，利用向量共線得出，利用線面垂直的判定定理證明平面，由于，不平行，則不存在棱上的點，使得平面.

（1）在四棱錐中

因為平面平面，平面平面

又因為，平面

所以平面

因為平面

所以

（2）取中點，連接

因為

所以

因為平面平面，平面平面

因為平面

所以平面

所以

因為

所以

所以四邊形是平行四邊形

所以

如圖建立空間直角坐標系，則

.

設平面的法向量為，則

即

令，則.

所以.

因為平面的法向量，

所以

由圖可知，二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

（3）設是棱上一點，則存在使得.

設，則

所以

所以

所以.

所以.

因為平面

所以平面.

所以是平面的一個法向量.

若平面，則.

所以

因為方程組無解，

所以在棱上不存在點，使得平面.