Question

（1）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
①y=x（x²+

1

x

+

1

x3

）；  ②y=（

x

+1）（

1

x

-1）；
（2）已知函數(shù)f（x）=3x+2cosx+sinx，且a=f′(

π

2

)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求過(guò)曲線y=x³上一點(diǎn)P（a，b）的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）①利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，然后利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)；
②利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，然后利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合a=f′(

π

2

)求得a的值，把點(diǎn)P（a，b）代入y=x³求b的值，然后設(shè)出切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出切線方程，結(jié)合P的坐標(biāo)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程可求．

解答： 解：（1）①y=x（x²+

1

x

+

1

x3

）=x3+1+

1

x2

，
∴y′=3x2-

2

x3

；  
②y=（

x

+1）（

1

x

-1）

x

•

1

x

-

x

+

1

x

-1=-x

1

2

+x

1

2

，
∴y′=-

1

2

x-

1

2

-

1

2

x-

3

2

=

-1

2 x

(1+

1

x

)；
（2）由f（x）=3x+2cosx+sinx，得f′（x）=3-2sinx+cosx，
則a=f′(

π

2

)=1，
∴P（1，1），
設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，y₀），
又y′=3x²，
∴得切線斜率k=3x02，
∴曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為：
y-x03=3x02(x-x0)，
又切線過(guò)點(diǎn)P（1，1），
∴有1-x03=3x02(1-x0)，整理得：(x0-1)(2x02-1)=0，
解得：x₀=1或x0=

2

2

或x0=-

2

2

，
∴切線方程為：y=3x-2或y=

3

2

x±

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是中檔題．