Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=-2na_n+2n，數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜4．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）n=1時，a₁=

1

2

，由S_n=n-a_n，得S_n-1=n-1-a_n-1（n＞1），由此推導出{a_n-1}為等比數列，首項a₁-1=-

1

2

，公比為

1

2

，從而a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
（2）c_n=-2n（-（

1

2

）ⁿ+1）+2n=2n（

1

2

）ⁿ，由此利用錯位相減法能證明T_n＜4．

解答： （1）解：∵n=1時，a₁=1-a₁，∴a₁=

1

2

．…（1分）
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1（n＞1）．
兩式相減，得a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

，…（3分）
∴a_n-1=

1

2

（a_n-1-1）．從而{a_n-1}為等比數列，首項a₁-1=-

1

2

，公比為

1

2

．
∴a_n-1=-

1

2

（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）ⁿ，
∴a_n=-（

1

2

）ⁿ+1…（6分）
（2）證明：由（1）知a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
∵c_n=-2n（-（

1

2

）ⁿ+1）+2n=2n（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2[（

1

2

）+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ]．
從而

1

2

T_n=2[（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+3×（

1

2

）⁴+…+n×（

1

2

）ⁿ]，
兩式相減，得

1

2

T_n=2[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]．
∴T_n=4×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4n（

1

2

）ⁿ⁺¹=4-（2n+4）（

1

2

）ⁿ．
∴T_n＜4．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．