Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，再求在x=1處的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可；
（Ⅱ）欲求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f'（x）＞0求出增區(qū)間，令f'（x）＜0求出減區(qū)間即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意有，f′(x)=a+

1

x-2

．…（3分）
因此過（1，f（1））點(diǎn)的直線的斜率為a-1，又f（1）=a，
所以，過（1，f（1））點(diǎn)的直線方程為y-a=（a-1）（x-1）．…．（4分）
又已知圓的圓心為（-1，0），半徑為1，依題意，

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x-2

．
因?yàn)閍＞0，所以2-

1

a

＜2，又由已知x＜2．…．（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜2-

1

a

，令f'（x）＜0，解得2-

1

a

＜x＜2．…（11分）
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，2-

1

a

)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(2-

1

a

，2)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．