Question

已知函數(shù)f（x）=cosx+sinx，g（x）=

2

cos（x+

π

4

）（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）=2g（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)F（x）的解析式進(jìn)行化簡整理，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系對原式進(jìn)行化簡，整理出關(guān)于tanx的形式，進(jìn)而利用f（x）=2g（x）求得tanx的值代入．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=

2

cos（x+

π

4

）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²，
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx，
=cos2x+sin2x+1，
=

2

sin（2x+

x

4

）+1，
∴函數(shù)F（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

x

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）時，F(xiàn)（x）單調(diào)增，
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

x，kπ+

π

8

]（k∈Z），
（Ⅱ）由題意，cosx+sinx=2（cosx-sinx），
得：tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．對三角函數(shù)化簡時一般是直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)，切割化弦，異名化同名，異角化同角等．