Question

設(shè){a_n}為等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₃=4，a₆=32
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n 及前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)T=S_n+

64

Sn+1

，求T的最小值及此時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出公比和首項(xiàng)，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n．
（2）由（1）得到T=2ⁿ-1+

64

2n

，由此利用均值不等式能求出T的最小值及此時(shí)n的值．

解答： 解：（1）∵{a_n}為等比數(shù)列，a₃=4，a₆=32，設(shè)公比為q，
∴

a1q2=4 a1q5=32

，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1，Sn=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵Sn=2n-1，
∴T=S_n+

64

Sn+1

=2ⁿ-1+

64

2n

≥2

2n• 64 2n

-1=15．
當(dāng)且僅當(dāng)2n=

64

2n

，即n=3時(shí)，T取最小值15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．