Question

下列說法：
①命題“若x＞0，則2^x＞1”的否命題是“若x≤0，則2^x≤1”；
②關于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③函數(shù)f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數(shù)的充要條件是a+b=0；
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①根據四種命題之間的關系即可得出．
②關于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，利用基本不等式即可得出sin2x+

1

sin2x

≥1，進而得出a的取值范圍．
③函數(shù)f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數(shù)?f（-x）+f（x）=0（x≠0）?alog₂|x|+b=0對于任意x≠0恒成立，可得a=b=0，進而得出．

解答： 解：①根據四種命題之間的關系可得：命題“若x＞0，則2^x＞1”的否命題是“若x≤0，則2^x≤1”，因此正確；
②關于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，又∵sin2x+

1

sin2x

≥1，當且僅當sinx=±1時取等號，
∴a＜1，可得a的取值范圍是a＜1，因此②不正確；
③函數(shù)f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數(shù)?f（-x）+f（x）=0（x≠0）?alog₂|x|+b=0對于任意x≠0恒成立，∴a=b=0，可得：a+b=0是函數(shù)f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數(shù)必要但不充分條件，因此不正確．
綜上可知：只有①正確．
故選：C．

點評：本題綜合考查了四種命題之間的關系、基本不等式、函數(shù)的奇偶性等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．