如圖,四棱錐的底面是正方形,⊥底面,點在棱上.

(1)求證:平面⊥平面;

(2)當的中點時,求與平面所成角的正弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)利用線面垂直證明面面垂直;(Ⅱ)

【解析】

試題分析:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是正方形,∴ACBD,

PD⊥底面ABCD,∴PDAC,∴AC⊥平面PDB,

,∴平面AEC⊥平面PDB.              (6分)

(Ⅱ)方法一:如圖1,設(shè)ACBD=O,連接OE,

由(Ⅰ)知AC⊥平面PDBO,∴∠AEOAE與平面PDB所成的角,   

∵O,E分別為DB、PB的中點,∴OE∥PD,且OE=PD,

又∵PD⊥底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,      

在Rt△AOE中,由PD=AB,

設(shè),則,,∴,于是,

即AE與平面PDB所成角的正弦值為.               (12分)

方法二:如圖2,以D為原點建立空間直角坐標系D?xyz,

設(shè)AE與平面PDB所成的角為,

,,,,

于是,所以,

且平面的法向量,所以,

AE與平面PDB所成角的正弦值為.               (12分)

考點:本題考查了空間中的線面關(guān)系及空間角的求法

點評:直線和平面成角的重點是研究斜線和平面成角,常規(guī)求解是采用“作、證、算”,但角不易作出時,可利用構(gòu)成三條線段的本質(zhì)特征求解,即分別求斜線段、射影線段、點A到平面的距離求之.

 

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(09年朝陽區(qū)二模文)(13分)

  如圖,四棱錐的底面是矩形,底面邊的中點,與平面所成的角為,且,.

(Ⅰ) 求證:平面

(Ⅱ)求二面角的大小.

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(09年山東實驗中學診斷三理)(13分)如圖:四棱錐的底面是提醒,腰平分且與垂直,側(cè)面都垂直于底面,平面與底面成60°角

(1)求證:;

(2)求二面角的大小

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三第八次月考文科數(shù)學試卷 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,平面,,,

上的點,且.     

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求的值,使平面;

(Ⅲ)當時,求三棱錐與四棱錐的體積之比.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年浙江省高三上學期摸底理科數(shù)學 題型:解答題

((本小題滿分14分)如圖,四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱底面,,、分別是棱的中點.

   (1)求證:;   (2) 求直線與平面所成的角的正切值

 

 

 

 

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學試卷 題型:填空題

(本小題滿分12 分)

如圖,四棱錐的底面是邊長為的菱形,

,平面,的中點,O為底面對角線的交點;

(1)求證:平面平面; 

(2)求二面角的正切值。

 

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