Question

設(shè)橢圓C:的離心率，右焦點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線(xiàn)，與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值.

 

Answer 1

(1);(2)．

【解析】

試題分析：

解題思路：(1)利用離心率及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用求解.

規(guī)律總結(jié)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，一般綜合性強(qiáng).一般思路是聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，整理得關(guān)于的一元二次方程，常用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.

試題解析：（1）由得，即

由右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

得，解得，

所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)A B

直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m與橢圓聯(lián)立消去y得

∵OA⊥OB,

即

整理得

所以O(shè)到直線(xiàn)AB的距離

∵OA⊥OB，∴

當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)取“=”

由得

.

即弦的長(zhǎng)度最小值是.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.