Question

（本小題滿分12分）

　　　已知函數(shù)。

　　（Ⅰ）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為S_n，其中a₁=3，若點 (n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點（n, S_n）也在y=f′(x)的圖象上；

　　（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）當(dāng),此時無極小值；

當(dāng)的極小值為,此時無極大值；

當(dāng)既無極大值又無極小值。

【解析】(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x²+2x,

    由點在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

又所以

    所以,又因為′(n)=n²+2n,所以,

    故點也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

當(dāng)x變化時,﹑的變化情況如下表:

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

 

 

 

注意到,從而

①當(dāng),此時無極小值；

②當(dāng)的極小值為,此時無極大值；

③當(dāng)既無極大值又無極小值。