Question

若數(shù)列{a_n}滿足前n項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足條件：，求證：．

Answer 1

（1）解：由，
當(dāng)n=1時(shí)，
．
當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=T_n-T_n-1
=
=．
此式當(dāng)n=1時(shí)成立．
所以，．
所以．
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=
=．
令①
②
①-②得：
=．
所以，．
又=．
所以，=；
（2）證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/12830.png' />，
則，
即，
又b₁=2，所以．
則，即．
所以，
=．
分析：（1）首先根據(jù)給出的數(shù)列的前n項(xiàng)和，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，代入數(shù)列后利用分組和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n；
（2）把（1）中求出的a_n代入，把不等式依次循環(huán)得到，代入b₁后得到，把要證的不等式左邊利用此式放大后借助于等比數(shù)列求和即可得到要征得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意討論n=1的情形，考查了數(shù)列的分組求和和錯(cuò)位相減法求和，訓(xùn)練利用放縮法求證不等式，解答此題（2）的關(guān)鍵在于其中的循環(huán)縮小的過(guò)程，是該題的難點(diǎn)所在．此題屬難度較大的題型．