如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱與底面成銳角α，點(diǎn)B1在底面上的射影D落在BC邊上．

(1)求證：AC⊥平面BB1C1C；

(2)當(dāng)α為何值時，AB1⊥BC1，且使D點(diǎn)恰為BC的中點(diǎn)?并說明理由；

(3)當(dāng)AB1⊥BC1，且D為BC中點(diǎn)時，若BC=2，四棱錐A-BB1C1C的體積為，求二面角A-B1C1-C的大�。�

第19題圖

答案：(1)∵B1D⊥平面ACB，∴B1D⊥AC，

∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C.

(2)因?yàn)锳C⊥平面BB1C1C，所以要使AB1⊥BC1，只要BC1⊥B1C，又BB1C1C是平行四邊形，只要BB1C1C是菱形，另外要使D為BC中點(diǎn)，因B1D⊥BC，所以只要三角形B1BC為等邊三角形即可，即當(dāng)α=60°時滿足題目要求．

(3)取B1C1的中點(diǎn)M，連接AM、MC，如圖所示．因?yàn)椤鰿1B1C是等邊三角形，所以CM⊥B1C1，

第19題圖

由題意知∠AMC是二面角A-B1C1-C的平面角，因?yàn)樗睦忮FA-BB1C1C的體積為，

所以，·AC·BC·B1D=，即×AC×2×=AC=1，

∴tan∠AMC=∠AMC=30°

即二面角A-B1C1-C的大小為30°．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大小；
（2）求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大��；
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A1B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成的角為
π3
，頂點(diǎn)B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥AB；
（3）求二面角B1-BC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成角為
π3
，頂點(diǎn)B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥C1A；
（3）求二面角B1-BC-A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱與底面所成的角為θ，且
AB1⊥BC1，點(diǎn)B1在底面上的射影D在BC上．
（I）若D點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，求θ；
（Ⅱ）若cosθ=
13
，且AC=BC=AA1=a，求二面角C-AB-C1的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•梅州二模）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=
2
a．
（1）求證：AC⊥平面BCC1B1；
（2）當(dāng)BB1與底面ABC所成的角為60°，且AB1⊥BC1時，求點(diǎn)B1到平面AC1的距離．

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