Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側棱與底面所成的角為

π

3

，頂點B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）證明：B₁C⊥AB；
（3）求二面角B₁-BC-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）由題意得B₁D⊥平面ABC，利用面面垂直判定定理即可證出平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）連結CD，根據(jù)直線與平面所成角的定義得出∠B1BD=

π

3

，Rt△B₁BD中算出BD=1，可得D為AB中點，因此在等邊△ABC中得到CD⊥AB，結合AB⊥B₁D得AB⊥平面B₁DC，從而證出B₁C⊥AB；
（3）作DE⊥BC于E，連B₁E．根據(jù)三垂線定理證出B₁E⊥BC，即∠B₁ED為二面角B₁-BC-A的平面角．在Rt△B₁DE中，利用解直角三角形算出tan∠B₁ED=2，即得二面角B₁-BC-A的正切值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
∵頂點B₁在底面ABC上的射影D在AB上，
∴B₁D⊥平面ABC，
∵B₁D?平面ABB₁A₁，∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）連結CD，
∵B₁D⊥平面ABC，
∴∠B₁BD就是側棱與底面所成的角為

π

3

，可得∠B1BD=

π

3

．
∴Rt△B₁BD中，BD=B1Dcos

π

3

=1，可得D為AB中點．
∴等邊△ABC中，可得CD⊥AB．
又∵AB⊥B₁D，CD∩B₁D=D，∴AB⊥平面B₁DC，
∵B₁C?平面B₁DC，∴AB⊥B₁C，即B₁C⊥AB；
（3）作DE⊥BC于E，連B₁E．
∵B₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴B₁E⊥BC，可得∠B₁ED為二面角B₁-BC-A的平面角
∵在Rt△B₁DE中，ED=

3

2

，B1D=

3

∴tan∠B1ED=

B1D

ED

=2，即二面角B₁-BC-A的正切值為2．

點評：本題給出特殊的三棱柱，求證面面垂直、線線垂直，并求二面角的正切值．著重考查了空間垂直位置關系的判斷與證明、二面角定義及其求法等知識，屬于中檔題．