Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（π-ωx）cosωx+cos（π+2ωx）（ω＞0）的最小正周期為π，
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若a∈[0，

π

4

]時(shí)有f（a）=

6

5

，試求cos2a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用恒等變換求出f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）以最小正周期為突破口求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步確定單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)f（a）=

6

5

，進(jìn)一步利用三角關(guān)系式解得：cos（2α-

π

6

）=

4

5

，再利用角的變換求的結(jié)果．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sin（π-ωx）cosωx+cos（π+2ωx）=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
由于函數(shù)的最小正周期為π，
解得：ω=1，
所以：f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
令：2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z），
故單調(diào)遞增區(qū)間為：x∈[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）f（a）=

6

5

，
所以：sin（2α-

π

6

）=

3

5

，
2α-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
cos（2α-

π

6

）=

4

5

，
cos2α=cos[（2α-

π

6

）+

π

6

]=cos（2α-

π

6

）cos

π

6

-sin（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4 3 -3

10

；
故答案為：（1）x∈[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）cos2α=

4 3 -3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及三角函數(shù)的值和角的變換問(wèn)題．