在直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩點（0，-
3
），（0，
3
）的距離之和等于4，設(shè)動點P的軌跡為曲線C．
（1）寫出曲線C的方程；
（2）若直線y=x+m與曲線C有交點，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）由橢圓定義可判斷曲線C為橢圓，且a=2，c=
3
，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可求出b的值，進而得到橢圓方程．
（2）若直線y=x+m與曲線C有交點，則聯(lián)立橢圓與直線y=x+m的方程，得到的方程組必有解，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范圍．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-
3
），（0，
3
）為焦點，長半軸長為2的橢圓．
∴它的短半軸b=1
∴曲線C的方程為x2+
y2
4
=1．
（2）聯(lián)立方程組
x2+
y2
4
=1
y=x+m
，
消去y得5x2+2mx+m2-4=0
因為曲線C與直線y=x+m有交點，所以△=4m2-20（m2-4）≥0
化簡得m2-5≤0
解得-
5
≤m≤
5

所以m的取值范圍為[-
5
，
5
]
點評：本題主要考察了定義法求橢圓方程，以及直線與橢圓相交位置關(guān)系的判斷．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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