Question

(本小題滿分12分)已知拋物線方程為

（1）若點(diǎn)在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，直線、、的斜率分別記為、、，

求證：、、成等差數(shù)列；

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為；（2）證明：見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)（2，2在拋物線y²=2px（p＞0）上，可得p=2，從而可求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線l的方程；

（Ⅱ）過焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

解：（1）   ∵在拋物線上，  由   得……………2分

∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，          ……………3分

準(zhǔn)線的方程為                ……………4分

（2）證明：∵拋物線的方程為，

∴過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為…………5分

由可得 

解得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，……………7分

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，……………8分

則，，，…………9分

由……………11分

知、、成等差數(shù)列。               ……………12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練利用拋物線的性質(zhì)，得到其方程，同時(shí)結(jié)合設(shè)而不求的思想，來表示出點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合斜率給弄個(gè)是得到證明。