Question

已知曲線S：y=3x-x³及點P（2，2），則過點P可向曲線S引切線，其切線共有

 

條．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，設(shè)切點為M（a，b），利用導數(shù)的幾何意義，求切線方程，利用點P（2，2）在切線上，求出切線條數(shù)即可．

解答： 解：∵y=3x-x³，
∴y'=f'（x）=3-3x²，
∵P（2，2）不在曲線S上，
∴設(shè)切點為M（a，b），則b=3a-a³，
f'（a）=3-3a²
則切線方程為y-（3a-a³）=（3-3a²）（x-a），
∵P（2，2）在切線上，
∴2-（3a-a³）=（3-3a²）（2-a），即2a³-6a²+4=0，
∴a³-3a²+2=0，即a³-a²-2a²+2=0，
∴（a-1）（a²-2a-2）=0，
解得a=1或a=1±

3

，
∴切線的條數(shù)為3條，
故答案為：3．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)的基本運算，考查學生的運算能力．注意點P不在曲線上，所以必須單獨設(shè)出切點．