【題目】如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點, ,O為BC的中點.將△ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=

(1)證明:A′O⊥平面BCDE;
(2)求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:連接OD,OE.

因為在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°, ,CO=BO=3.

在△COD中, ,同理得

因為

所以A′O2+OD2=A′D2,A′O2+OE2=A′E2

所以∠A′OD=∠A′OE=90°

所以A′O⊥OD,A′O⊥OE,OD∩OE=O.

所以A′O⊥平面BCDE.


(2)方法一:

過點O作OF⊥CD的延長線于F,連接A′F

因為A′O⊥平面BCDE.

根據(jù)三垂線定理,有A′F⊥CD.

所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角.

在Rt△COF中,

在Rt△A′OF中, =

所以

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為

方法二:

取DE中點H,則OH⊥OB.

以O為坐標原點,OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

則O(0,0,0),A′(0,0, ),C(0,﹣3,0),D(1,﹣2,0) =(0,0, )是平面BCDE的一個法向量.

設平面A′CD的法向量為n=(x,y,z) ,

所以 ,令x=1,則y=﹣1,

所以 是平面A′CD的一個法向量

設二面角A′﹣CD﹣B的平面角為θ,且

所以

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為


【解析】(1)連接OD,OE.在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°, ,AD=AE= ,CO=BO=3.分別在△COD與△OBE中,利用余弦定理可得OD,OE.利用勾股定理的逆定理可證明∠A′OD=∠A′OE=90°,再利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)方法一:過點O作OF⊥CD的延長線于F,連接A′F.利用(1)可知:A′O⊥平面BCDE,根據(jù)三垂線定理得A′F⊥CD,所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角.在直角△OCF中,求出OF即可;方法二:取DE中點H,則OH⊥OB.以O為坐標原點,OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設S為△ABC的面積,滿足Sa2+c2b2).

1)求角B的大;

2)若邊b,求a+c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的焦點為,點是拋物線上一點,且

(1)求的值;

(2)若為拋物線上異于的兩點,且.記點到直線的距離分別為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當時,求的極值;

2)當時,討論的單調(diào)性;

3)若對任意的,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩個籃球隊在4次不同比賽中的得分情況如下:

甲隊

88

91

92

96

乙隊

89

93

9▓

92

乙隊記錄中有一個數(shù)字模糊(即表中陰影部分),無法確認,假設這個數(shù)字具有隨機性,并用表示.

(Ⅰ)在4次比賽中,求乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率;

(Ⅱ)當時,分別從甲、乙兩隊的4次比賽中各隨機選取1次,記這2個比賽得分之差的絕對值為,求隨機變量的分布列;

(Ⅲ)如果乙隊得分數(shù)據(jù)的方差不小于甲隊得分數(shù)據(jù)的方差,寫出的取值集合.(結論不要求證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù),其中.

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)當時,證明:函數(shù)不可能存在兩個零點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)行的個稅法修正案規(guī)定:個稅免征額由原來的2000元提高到3500元,并給出了新的個人所得稅稅率表:

全月應納稅所得額

稅率

不超過1500元的部分

3%

超過1500元至4500元的部分

10%

超過4500元至9000元的部分

20%

超過9000元至35000元的部分

25%

……

例如某人的月工資收入為5000元,那么他應納個人所得稅為:(元).

(Ⅰ)若甲的月工資收入為6000元,求甲應納的個人收的稅;

(Ⅱ)設乙的月工資收入為元,應納個人所得稅為元,求關于的函數(shù);

(Ⅲ)若丙某月應納的個人所得稅為1000元,給出丙的月工資收入.(結論不要求證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,交于點,,分別為,的中點.

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)求證:∥平面;

(Ⅲ)求證:平面.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知

1)判斷函數(shù)的奇偶性,并予以證明;

2時求使的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案