Question

選修4-5：不等式選講
若關(guān)于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實(shí)根
（1）求實(shí)數(shù)a的取值集合A
（2）若存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實(shí)根，
∴△=16-4（|a|+|a-3|）≥0，
即，
∴A=[]；
（2）令f（a）=t²-2a|t|+12，
∵存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，
∴f（a）_min＜0即可，即f（）=t²-7|t|+12＜0，
∴3＜|t|＜4，
∴-4＜t＜-3或3＜t＜4．
分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實(shí)根，可得△≥0，解不等式即可求得結(jié)果；
（2）存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，構(gòu)造函數(shù)f（a）=t²-2a|t|+12，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零即可，解此不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的根的問題，別更主元，構(gòu)造函數(shù)f（a）=t²-2a|t|+12，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．