Question

設(shè)函數(shù) f（x）對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明．
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)，并求出x∈[-3，3]時，f（x）的最大值及最小值．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過對恒等式中的兩個量x，y賦值，得出f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的奇偶性；
（2）設(shè)x₁＜x₂，根據(jù)恒等式將f（x₁）-f（x₂）的差變?yōu)?f（x₂-x₁），再由條件x＞0時f（x）＜0判斷出差的符號，即可得出單調(diào)性從而求出最值；
（3）利用單調(diào)性解f（2x+5）+f（6-7x）＞4即可得出x的取值范圍．

解答： 解：（1）是奇函數(shù)．令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
又令x=x，y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），故得f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁），
由x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，又x＞0時f（x）＜0，知f（x₂-x₁）＜0，即：f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在R上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-3，3]時，f（3）≤f（x）≤f（-3），
∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，
∴f（2）=-4f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=-4-2=-6，
∴f（-3）=6．
即-6≤f（x）≤6，當(dāng)x=-3時，y_max=6；x=3，y_min=-6
（3）由f（2x+5）+f（6-7x）＞4，且f（-2）=4，得f（2x+5+6-7x）＞f（-2）．即f（11-5x）＞f（-2）．
又由（2）知f（x）在R上是減函數(shù)．得11-5x＜-2，解得x＞

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點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題及抽象函數(shù)應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，考查了構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化的思想，利用單調(diào)性解不等式的技巧等，屬于中檔題．