Question

設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；

（Ⅲ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)，得，，.進而求；（Ⅱ）充分性的證明：因為，且，故，從而；必要性的證明，因為，故，又，，則有；（Ⅲ）已知數(shù)列的前項和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；

試題解析：（Ⅰ）解：因為等比數(shù)列的，，所以，，.

所以，，.則.

（Ⅱ）證明：（充分性）因為，所以對一切正整數(shù)n都成立.

因為，，所以.

（必要性）因為對于任意的，，

當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，，得.

所以對一切正整數(shù)n都有.因為，，所以對一切正整數(shù)n都有.

（Ⅲ）證明：因為，所以，

.

因為，所以，.由，得.

因為，所以，

所以，即.

考點：1、等比數(shù)列的通項公式；2、數(shù)列前n項和；3、充要條件.