Question

設無窮等比數列的公比為q，且，表示不超過實數的最大整數（如）,記，數列的前項和為，數列的前項和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數n，都有，證明：.

（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且當時，.且，故，，，且當時，，進而求；（Ⅱ）已知數列的前項和（），可求得，由取整函數得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；（Ⅲ）先證明充分性，當時，，由取整函數的性質得，故；必要性的證明，當時，，則有.

試題解析：（Ⅰ）解：由等比數列的，，得，，，且當時，.

所以，，，且當時，.

即

（Ⅱ）證明：因為 ，所以 ，.

因為 ，

所以 ，.

由 ，得 .

因為 ，

所以 ，

所以 ，即 .

（Ⅲ）證明：（充分性）因為 ，，

所以，

所以對一切正整數n都成立.

因為，，

所以.

（必要性）因為對于任意的，，

當時，由，得；

當時，由，，得.

所以對一切正整數n都有.

由 ，，得對一切正整數n都有，

所以公比為正有理數.

假設 ，令，其中，且與的最大公約數為1.

因為是一個有限整數，

所以必然存在一個整數，使得能被整除，而不能被整除.

又因為，且與的最大公約數為1.

所以，這與（）矛盾.

所以.

因此，.

考點：1、等比數列的通項公式；2、數列前n項和；3、充要條件.