【題目】設(shè)函數(shù)().
(1)若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(3)令, ,設(shè), , 是曲線上相異三點(diǎn),其中.求證: .
【答案】(1)實(shí)數(shù)的取值范圍是
(2)時(shí), 有唯一極小值點(diǎn),
時(shí), 有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn);
時(shí), 無極值點(diǎn).
(3)證明見解析
【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為: 或在上恒成立.再根據(jù)變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值: 最大值或最小值,即得.(2)實(shí)質(zhì)為討論一元二次方程解的情況:當(dāng)時(shí),方程無解,函數(shù)無極值點(diǎn); 時(shí),方程有一解,函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn); 時(shí),方程有兩解,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);(3)借助第三量進(jìn)行論證,先證,代入化簡可得,構(gòu)造函數(shù),其中(),利用導(dǎo)數(shù)易得在上單調(diào)遞增,即,即有,同理可證,
試題解析:解:(1),
函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù), 或在上恒成立.
若恒成立,得.
若恒成立,即恒成立.
在上沒有最小值, 不存在實(shí)數(shù)使恒成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)不同解, , ,
時(shí), , ,即, ,
時(shí), 在上遞減,在上遞增, 有唯一極小值點(diǎn);
當(dāng)時(shí), .
, , 在上遞增,在遞減,在遞增,
有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).
綜上所述, 時(shí), 有唯一極小值點(diǎn),
時(shí), 有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn);
時(shí), 無極值點(diǎn).
(3)先證: ,即證,
即證 ,
令(),, ,
所以在上單調(diào)遞增,即,即有,所以獲證.
同理可證: ,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線.
(Ⅰ)若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn), ,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件,每個(gè)配件的成本是15元,銷售價(jià)是20元,月平均銷售件,通過改進(jìn)工藝,每個(gè)配件的成本不變,質(zhì)量和技術(shù)含金量提高,市場分析的結(jié)果表明,如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為,那么月平均銷售量減少的百分率為,記改進(jìn)工藝后電子公司銷售該配件的月平均利潤是(元).
(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)改進(jìn)工藝后,試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià),使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家,5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體:圖①是從圓柱中挖出一個(gè)圓錐所得的幾何體;圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為( 。
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,定點(diǎn)(常數(shù))的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求證:
(2)若,以為直徑的圓的位置是否恒過一定點(diǎn)?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), .
(1)直接寫出函數(shù)的增區(qū)間(不需要證明);
(2)求出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為, 為原點(diǎn), , 是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,直線和分別與橢圓交于, 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求的面積的最小值;
(Ⅱ)證明: , , 三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一片成熟森林的總面積為 (近期內(nèi)不再種植),計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多還能砍伐多少年?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點(diǎn)的平面與棱, , 分別交于點(diǎn), , (, , 三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結(jié)論.
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