Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為和，點在橢圓上，且的面積為.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）過該橢圓的左頂點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓相交于不同于點的兩點、，證明：動直線恒過軸上一定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1)由三角形的面積可得.結(jié)合橢圓的定義可得，則..所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點坐標設(shè)為，顯然.當直線的斜率不存在時，直線的斜率為，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，直線與軸相交于點.當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立有 ，，則 ，據(jù)此可得或，則直線恒過點.詳解：（1)∵點在橢圓上，且的面積為，

∴，即.

∴兩個焦點坐標分別為、.

∴，即：.

∴.

∴所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點坐標設(shè)為，顯然.

當直線的斜率不存在時，軸，此時直線的斜率為，

∴的方程為，代入化簡得：，

∴或，即此時直線與軸相交于點.

當直線的斜率存在時，設(shè)為，依題意，.

則的方程為，

代入并化簡得： ，

設(shè)、，

∴，.

又，

∴

∴，解之得或，

即直線恒過點.

綜上所述，直線恒過定點.