Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，且對于一切實數(shù)x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，且對于一切實數(shù)x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，可得cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，即cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，從而可求實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，且對于一切實數(shù)x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，
∴cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，
∴cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，
∵cosx-sin²x=（cosx+

1

2

）²-

5

4

∈[-

5

4

，1]，sin²x∈[0，1]，
∴b²-b-3≤-

5

4

且b-1≤0，
∴實數(shù)b的取值范圍是[

1

2

-

2

，1]．
故答案為：[

1

2

-

2

，1]．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查解不等式，轉(zhuǎn)化為cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4是關(guān)鍵．