Question

求證：
（1）lnx＜

1

2

x2-

1

2

x（x≥2）；
（2）

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

n(n-1)

4

（n≥2）．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,推理和證明

分析：（1）構造函數f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2），利用導數法可判斷出f（x）在[2，+∞）上單調遞增，從而可證得結論成立．
（2）構造函數g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），利用導數法可判斷g（x）在[3，+∞）上單調遞減，當x≥3時，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，利用累加法可證結論成立．

解答： 證明：（1）令f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2），則f′（x）=x-

1

2

-

1

x

，
因為y=x-

1

2

與y=-

1

x

在[2，+∞）上均為增函數，
所以，f′（x）=x-

1

2

-

1

x

在[2，+∞）上為增函數，
所以，f′（x）≥f′（2）=2-

1

2

-

1

2

=1＞0，
所以，f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2）在[2，+∞）上為增函數，
所以，f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx≥f（2）=2-1-ln2＞0，
所以

1

2

x2-

1

2

x＞lnx，即lnx＜

1

2

x2-

1

2

x（x≥2）（證畢）．
（2）令g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），
則g′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

，
當x≥3時，g′（x）＜0，所以，g（x）在[3，+∞）上單調遞減；
所以，當x≥3時，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，
∴g（4）=

ln4

4

-

4-1

2

=

ln4

4

-

3

2

＜0，
…，
g（n）=

lnn

n

-

n-1

2

＜0，
又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，
所以，g（2）+g（3）+…+g（n）=（

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

）-（

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

）＜0，
所以，

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

=

1

2

•

(1+n-1)(n-1)

2

=

n(n-1)

4

，
故原命題得證．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查構造函數思想與導數法判斷函數的單調性、放縮法與等差數列的求和的綜合應用，考查轉化思想與推理證明能力．