Question

某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）

Answer 1

解：設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，
則(x≥10，x∈Z₊)，
令，
下面證明g(x)在[10，+∞]的單調性，
在定義域內任取x₁＜x₂，則有


，
而存在①和②兩種可能，
∴在同一區(qū)間，x₁，x₂的值可以非常接近，且都靠近15時，x₁，x₂的值就非�？拷�225了，
反之，如果x₁，x₂的值分布在15的兩側，則x₁x₂的值就會出現不確定的結果，即有些大于15，有些小于15，可以而且必須在15劃分單調區(qū)間；
故當x₁＜x₂=15 時，函數單調遞減，
當15＜x₁＜x₂時，函數是增函數，
故g(x)在[10，15]上遞減，在[15，+∞]上遞增，
所以函數在[10，+∞]的最小值是在x=15處取得，即f(15)=2000，
答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層。