Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，M，N分別為AB，B₁C₁的中點(diǎn)．

（1）求證：MN∥平面AA₁C₁C；

（2）若CC₁＝CB₁，CA＝CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求證：AB^平面CMN．

 

Answer 1

證明：（1）取A₁C₁的中點(diǎn)P，連接AP，NP．

因?yàn)?i>C₁N＝NB₁，C₁P＝PA₁，所以NP∥A₁B₁，NP＝A₁B₁．   …………………… 2分

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁＝AB．

故NP∥AB，且NP＝AB．

因?yàn)?i>M為AB的中點(diǎn)，所以AM＝AB．

所以NP＝AM，且NP∥AM．

所以四邊形AMNP為平行四邊形．

所以MN∥AP．                        

因?yàn)?i>APÌ平面AA₁C₁C，MNË平面AA₁C₁C，

所以MN∥平面AA₁C₁C．            

（2）因?yàn)?i>CA＝CB，M為AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB．    

因?yàn)?i>CC₁＝CB₁，N為B₁C₁的中點(diǎn)，所以CN⊥B₁C₁． 

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以CN^BC．

因?yàn)槠矫?i>CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC₁B₁B，

所以CN⊥平面ABC．                    

因?yàn)?i>ABÌ平面ABC，所以CN⊥AB．           

因?yàn)?i>CMÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，

所以AB⊥平面CMN．