Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若直線l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點的坐標(biāo)，根據(jù)切點和斜率寫出切線的方程，又切線l與已知圓相切，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）確定f（x）的定義域，再分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由題意可得，f′（x）=a+

1

x-2

，
把x=1代入f（x）得：f（1）=a，則切點坐標(biāo)為（1，a），
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得：f′（1）=a-1，則切線的斜率k=a-1，
所以切線方程l為：y-a=（a-1）（x-1），即（a-1）x-y+1=0，
又圓心坐標(biāo)（-1，0），半徑r=1，由l與圓（x+1）²+y²=1相切，則圓心到直線l的距離d=

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1；
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定義域為（-∞，2），
①當(dāng)a≤0時，f′（x）=a+

1

x-2

＜0，函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2），
②當(dāng)a＞0時，f′（x）=a+

1

x-2

＞0，解得x＜2-

1

a

，
∵2-

1

a

＜2，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，2-

1

a

)
f′（x）=a+

1

x-2

＜0，解得x＞2-

1

a

，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(2-

1

a

，2)．

點評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．