Question

已知函數(shù)

 (1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．

 

Answer 1

【答案】

(1)a＝－1時(shí)，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．

f ′(x)＝＋1－，x∈(0，＋∞)，

因此f ′(2)＝1，

即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為1.

又f(2)＝ln2＋2，

所以y＝f(x)在(2，f(2))處的切線方程應(yīng)為y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.

(2)因?yàn)閒(x)＝lnx－ax＋－1，

所以f ′(x)＝－a＋＝　x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax²－x＋1－a，

①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

②當(dāng)a≠0時(shí)，g(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，x∈(0，＋∞)

(ⅰ)當(dāng)a＝時(shí)，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；

(ⅱ)當(dāng)0<a<時(shí)，－1>1>0，

x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

x∈(1，－1)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

x∈(－1，＋∞)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

③當(dāng)a<0時(shí)，由－1<0，

x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減

x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，有f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

綜上所述：

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，(1，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＝時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，－1)上單調(diào)遞增，

在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．

【解析】略