在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=
π
2
,AB=AC=AA1=1
,D和E分別為棱AC、AB上的動點(不包括端點),若C1E⊥B1D,則線段DE長度的取值范圍為(  )
分析:由題設(shè)條件分別以AB,AC,AA1為x軸,y軸,z軸,作空間直角坐標(biāo)系,則B1(1,0,1),C1(0,1,1),設(shè)E(t1,0,0),D(0,t2,0),t1,t2∈(0,1),則
C1E
=(t1,-1,-1)
B1D
=(-1,t2,-1)
,再由C1E⊥B1D,得t1+t2=1.由
DE
=(t1,-t2,0)
,知|
DE
| =
x12+x22
=
x1 2+(1-x1)2
=
2(t1-
1
2
)
2
+
1
2
,由此能求出線段DE長度的取值范圍.
解答:解:∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠BAC=
π
2
,AB=AC=AA1=1
,D和E分別為棱AC、AB上的動點(不包括端點),
∴分別以AB,AC,AA1為x軸,y軸,z軸,作空間直角坐標(biāo)系,
則B1(1,0,1),C1(0,1,1),
設(shè)E(t1,0,0),D(0,t2,0),t1,t2∈(0,1),
C1E
=(t1,-1,-1)
,
B1D
=(-1,t2,-1)
,
∵C1E⊥B1D,
∴-t1-t2+1=0,
即t1+t2=1.
DE
=(t1,-t2,0)
,
|
DE
| =
t12+t22

=
t12+(1-t1)2

=
2(t1-
1
2
)
2
+
1
2
,
∵0<t1<1,
∴當(dāng)t1=
1
2
時,|
DE
|
min
=
1
2
=
2
2
,
當(dāng)
lim
t→1
|
DE
| =
lim
t→1
2(t1
1
2
)2 +
1
2
=1.
∴線段DE長度的取值范圍為[
2
2
,1).
故選C.
點評:本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,是基礎(chǔ)題.解題時要認(rèn)真審題,恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中點.
(Ⅰ)求證:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大;
(Ⅲ)求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•瀘州一模)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AB=BC=CA=a,AA′=
2
a
,則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有兩個動點E,F(xiàn),且EF=a (a為常數(shù)).
(Ⅰ)在平面ABC內(nèi)確定一條直線,使該直線與直線CE垂直;
(Ⅱ)判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值.若是定值,求出這個三棱錐的體積;若不是定值,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°角.
(1)求證:A′B⊥面AB′C;
(2)求二面角B-B′C-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,點D是BC的中點,∠ACB=90°,AC=BC=1,AA′=2,
(1)欲過點A′作一截面與平面AC'D平行,問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線,寫出作法,并說明理由;
(2)求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值.

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