(2010•沅江市模擬)橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2,等邊三角形的邊AF1、AF2與該橢圓分別相交于B、C兩點(diǎn),且2|BC|=|F1F2|,則該橢圓的離心率等于( 。
分析:由△A為正三角形可得∠AF1F2=∠A=60°,則可求直線AF1,AF2的斜率,進(jìn)而可求所在的直線方程,其交點(diǎn),而AF1中點(diǎn)B在橢圓上,代入橢圓的方程,結(jié)合b2=a2-c2及0<e<1可求該橢圓的離心率.
解答:解:由△AF1F2為正三角形可得∠AF1F2=∠AF2F1=60°
則直線AF1,AF2的斜率分別為
3
,-
3

則直線AF1,AF2所在的直線方程分別為y=
3
(x+c)
,y=-
3
(x-c)

其交點(diǎn)A(0,
3
c),由于2|BC|=|F1F2|,得BC是三角形的中位線,得B是AF1的中點(diǎn),
從而AF1中點(diǎn)B( -
1
2
c
,
3
2
c
)在橢圓上,代入橢圓的方程可得
c2
4a2
+
3c2
4b2
=1

整理可得,c2(a2-c2)+3c2a2=4a2(a2-c2
∴4a4-8a2c2+c4=0
兩邊同時(shí)除以a4可得,e4-8e2+4=0
∵0<e<1
e2=4-2
3
e2=2+
3
(舍)
e=
3
-1

故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的簡單性質(zhì),直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想.
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AP
=t
AB
,(0≤t≤1),則
OA
OP
的最大值是(  )

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x=2-
1
2
t
y=-1+
1
2
t
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