Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．
（1）求證：AC⊥A₁B；
（2）求三棱錐C₁-ABA₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AC中點O，連A₁O，BO，由已知得A₁O⊥AC，BO⊥AC，從而AC⊥平面A₁OB，由此能證明AC⊥A₁B．
（2）由VC1-ABA 1=VB-AA1C1，利用等積法能求出三棱錐C₁-ABA₁的體積．

解答： （1）證明：取AC中點O，連A₁O，BO．
∵AA₁=A₁C，∴A₁O⊥AC，…1分
又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分
∵A₁O∩BO=O，∴AC⊥平面A₁OB，…3分
又A₁B?平面A₁OB，…4分
∴AC⊥A₁B…5分
（2）解：由條件得：VC1-ABA 1=VB-AA1C1…6分
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，
AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
∴OB=

2

，OA=

3

，S△AA1C1=

3

…9分
∴VC1-ABA 1=VB-AA1C1=

1

3

•S△AA1C1•OB…10分
=

3

3

．…12分

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．