Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點，D為棱CC₁上任一點．
（Ⅰ）求證：直線EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為E、F分別為A₁C₁，B₁C₁的中點，由三角形中位線定理，我們易證明EF∥AB，根據(jù)線面平行的判定定理，我們易得直線EF∥平面ABD；
（Ⅱ）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，結(jié)合線面垂直判定定理，我們易得AB⊥面BCC₁B₁，再由面面垂直判定定理，即可得到平面ABD⊥平面BCC₁B₁．
解答：證明：（Ⅰ）因為E、F分別為A₁C₁，B₁C₁的中點，所以EF∥A₁B₁∥AB（4分）
而EF?面ABD，AB?面ABD，所以直線EF∥平面ABD（7分）
（Ⅱ）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，所以AB⊥BB₁，又AB⊥BC，
而BB₁?面BCC₁B₁，BC?面BCC₁B₁，且BB₁∩BC=B，所以AB⊥面BCC₁B₁（11分）
又AB?面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC₁B₁（14分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行的判定定理，平面與平面之間垂直的判定定理及證明步驟是解答此類問題的關(guān)鍵．