Question

為了體現(xiàn)國家“民生工程”，某市政府為保障居民住房，現(xiàn)提供一批經濟適用房．現(xiàn)有條件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申請，他們的申請是相互獨立的．
（Ⅰ）求A、B兩人都申請甲套住房的概率；
（Ⅱ）求A、B兩人不申請同一套住房的概率；
（Ⅲ）設3名參加選房的人員中選擇甲套住房的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設“A申請甲套住房”為事件M₁，“B申請甲套住房”為事件M₂．由事件A和B是獨立事件，能求出A，B兩人都申請甲套住房的概率．
（Ⅱ）設“A，B兩人選擇同一套住房”為事件N，先求出事件N的概率，再求A，B兩人不選擇同一套住房的概率．
（Ⅲ）法一：隨機變量ξ可能取的值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依題意得ξ～B(3，

1

4

)，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設“A申請甲套住房”為事件M₁，“B申請甲套住房”為事件M₂
那么A，B兩人都申請甲套住房的概率
P(M1M2)=P(M1)•P(M2)=

1

4

×

1

4

=

1

16

所以甲、乙兩人都申請甲套住房的概率為

1

16

…（3分）
（Ⅱ）設“A，B兩人選擇同一套住房”為事件N，
P(N)=4×

1

4

×

1

4

=

1

4

所以A，B兩人不選擇同一套住房的概率是
P(

.

N

)=1-P(N)=

3

4

…（7分）
（Ⅲ）（方法一）隨機變量ξ可能取的值為0，1，2，3，那么P(ξ=0)=

C

0 3

×(

3

4

)3=

27

64

；
 P(ξ=1)=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2=

27

64

；
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

；
P(ξ=3)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

；
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（11分）
所以Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

…（12分）
（方法二）依題意得ξ～B(3，

1

4

)
所以ξ的分布列為P(ξ=k)=

C

k 3

×(

1

4

)k×(

3

4

)3-k=

C

k 3

×

33-k

64

，k=0，1，2，3．
即

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（11分）
所以 Eξ=3×

1

4

=

3

4

…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．