Question

在等腰梯形ABCD中，AB=3，AD=BC=2，CD=1，E為AB上的點且AE=1，將△AED沿DE折起到A₁ED的位置，使得二面角A₁-CD-E的平面角為
30°．
（1）求證：DE⊥A₁B；
（2）求二面角B-A₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件與圖，可先證DE⊥面A₁EB再有線面垂直證DE⊥A₁B；
（2）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)E₁A與X軸所的角為θ，給出各點的坐標，設(shè)出兩個半平面的法向量，由公式求出兩個半平面的法向量，再由公式求出二面角B-A₁C-D的余弦值
解答：解：（1）證明：如左圖，因為在等腰梯形ABCD中，AB=3，CD=1，AE=1，所以DE⊥AB，∴如右圖中，DE⊥A₁E，DE⊥BE，∴DE⊥面A₁EB，，故DE⊥A₁B，
（2）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)E₁A與X軸所的角為θ，則A₁（cosθ，-sinθ，0），B（0，2，0），C（0，1，）D（0，0，），設(shè)平面A₁CD的法向量為=（x，y，z），平面BCDE的法向量為=（1，0，0），則
令z=1，則=（），∵cos＜＞=，∴=，解得cosθ=1，即θ=0
此時，點A1在X軸上，A1（1，0，0），=（-1，2，0），=（，0，1），設(shè)平面A1BC的法向量為=（x，y，z），則
，令y=1，得=（2，1，），故cos＜＞==
結(jié)合圖形，可得二面角B-A1C-D為鈍角，故二面角的余弦值為-
點評：本題考查二面角的平面角的求法，做題的關(guān)鍵是熟練掌握向量法求二面角的公式與步驟，利用向量法求二面角是向量的一個重要運用，向量的引入，為立體幾何中二面角求解帶來了極大的方便，題后應(yīng)注意總結(jié)此法求二面角的規(guī)律．