Question

【題目】已知橢圓右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)作兩條互相垂直的弦，設(shè)中點(diǎn)分別為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進(jìn)而求出b的值，確定出橢圓方程即可；

（2）由直線AB與CD向量存在，設(shè)為k，表示出AB方程，設(shè)出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而表示出M坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出M，同理表示出N，根據(jù)M與N橫坐標(biāo)相同求出k的值，得到此時(shí)MN斜率不存在，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)；若直線MN斜率存在，表示出直線MN斜率，進(jìn)而表示出直線MN，令y=0，求出x的值，得到直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，綜上，得到直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；

解：(1) 由題意：，

∴，

則橢圓的方程為

(2) ∵斜率均存在

∴設(shè)直線方程為：，

再設(shè)，則有，

聯(lián)立得：，

消去得：，

∴，即，

將上式中的換成，同理可得：，

若，解得：，直線斜率不存在，

此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)；

下證動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，

若直線斜率存在，則，

直線為，

令，得，

綜上，直線過(guò)定點(diǎn)；