Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+

3

和2-

3

，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若

ED

=6

DF

，求k的值；
（3）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1，所以所求的橢圓方程為

x2

4

+y2=1．（2）直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．設(shè)D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=

2

1+4k2

．由此能求出k的值．
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離，分別求出為h₁，h₂，|AB|=

22+1

=

5

，由此能求出四邊形AEBF的面積的最大值．

解答：解：（1）由題意

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1，所以所求的橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
設(shè)D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=

2

1+4k2

．
由

ED

=6

DF

知x0-x1=6(x2-x0)，得x0=

1

7

(6x2+x1)=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

；
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，
得x₀=

2

1+2k

．
所以

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，化簡得24k2-25k+6=0，解得k=

2

3

或k=

3

8

．
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式知，
點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為
h₁=

|x1+2kx1-2|

5

=

2(1+2k+ 1+4k2 )

5(1+4k2)

，h2=

|x2+2kx2-2|

5

=

2(1+2k- 1+4k2 )

5(1+4k2)

，
又|AB|=

22+1

=

5

，
所以四邊形AEBF的面積為
S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

5

•

4(1+2k)

5(1+4k2)

=

2(1+2k)

1+4k2

=2

1+4k2+4k 1+4k2

≤2

2

．
當(dāng)2k=1，即當(dāng)k=

1

2

時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．