Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+2|x-1|，
①當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=2-x+2（1-x）=-3x+4，
由f（x）＞3，得-3x+4＞3，解得x＜

1

3

，
∴x＜

1

3

；
②1＜x≤2時(shí)，f（x）=2-x+2（x-1）=x，
由f（x）＞3，得x＞3，
∴此時(shí)不等式無解；
③當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=x-2+2（x-1）=3x-4，
由f（x）＞3，得3x-4＞3，解得x＞

7

3

，
∴x＞

7

3

；
綜上，不等式f（x）＞3的解集為（-∞，

1

3

）∪（

7

3

，+∞）．
（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，
當(dāng)|x-2|≥1，即x≤1或x≥3時(shí)，顯然|x-2|+2|x-a|≥1對任意實(shí)數(shù)a恒成立；
∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只須丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對x∈（1，3）恒成立．
（1）若x∈（1，2]時(shí)，得2|x-a|≥x-1，即a≥

3x-1

2

，或a≤

x+1

2

，x∈（1，2]恒成立，則a≥

5

2

，或a≤1；
（2）若當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，得2|x-a|≥3-x，即a≥

x+3

2

，或a≤

3x-3

2

對x∈（2，3）恒成立，則a≥3，或a≤

3

2

；
對（1）（2）中a的范圍取交集，得a≤1或a≥3．