請你設(shè)計(jì)一個紙盒.如圖所示,ABCDEF是邊長為30cm的正六邊形硬紙片,切去陰影部分所示的六個全等的四邊形,再沿虛線折起,正好形成一個無蓋的正六棱柱形狀的紙盒,G、H分別在AB、AF上,是被切去的一個四邊形的兩個頂點(diǎn),設(shè)AG=AH=x(cm).(1)若要求紙盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若要求紙盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求此時紙盒的高與底面邊長的比.

解:(1)由平面圖形知,正六棱柱的底面正六邊形的邊長為(30-2x),
根據(jù)平面圖形中的小陰影四邊形的最大角為∠HAG=120°,可得正六棱柱的高為,
所以紙盒的側(cè)面積S==,x∈(0,15),
因?yàn)樵摱魏瘮?shù)開口向下,且對稱軸方程為,
所以當(dāng)cm時,側(cè)面積S最大,最大側(cè)面積為(cm2).
(2)因紙盒的底面是邊長為(30-2x)的正六邊形,
所以底面積為S=
所以紙盒的容積V==,x∈(0,15),
=0,得x=5,或x=15(舍去),
列表:
x(0,5)5(5,15)
V'(x)+0-
V(x)極大值9 000
所以當(dāng)x=5cm時,容積V最大,此時紙盒的高與底面邊長的比為=
分析:(1)由AG=AH=x,得到正六棱柱的底面正六邊形的邊長為(30-2x),因?yàn)檎呅蔚囊粋內(nèi)角為120°,由此可解得正六棱柱的高為,然后直接利用正六棱柱的側(cè)面積公式寫出側(cè)面積,運(yùn)用二次函數(shù)求最值;
(2)求出邊長為(30-2x)的正六邊形的面積,則紙盒的容積V可求,求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)求最大值,并求出當(dāng)容積最大時的x的值,從而得到紙盒的高與底面邊長的比.
點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用,考查了正六邊形的面積的求法,解答此題的關(guān)鍵是用x表示紙盒的高,同時需要注意的是實(shí)際問題要注明有實(shí)際意義的定義域,此題是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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請你設(shè)計(jì)一個紙盒.如圖所示,ABCDEF是邊長為30cm的正六邊形硬紙片,切去陰影部分所示的六個全等的四邊形,再沿虛線折起,正好形成一個無蓋的正六棱柱形狀的紙盒,G、H分別在AB、AF上,是被切去的一個四邊形的兩個頂點(diǎn),設(shè)AG=AH=x(cm).(1)若要求紙盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若要求紙盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求此時紙盒的高與底面邊長的比.

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請你設(shè)計(jì)一個紙盒.如圖所示,ABCDEF是邊長為30cm的正六邊形硬紙片,切去陰影部分所示的六個全等的四邊形,再沿虛線折起,正好形成一個無蓋的正六棱柱形狀的紙盒,G、H分別在AB、AF上,是被切去的一個四邊形的兩個頂點(diǎn),設(shè)AG=AH=x(cm).(1)若要求紙盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若要求紙盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求此時紙盒的高與底面邊長的比.

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