Question

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)紙盒．如圖所示，ABCDEF是邊長(zhǎng)為30cm的正六邊形硬紙片，切去陰影部分所示的六個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，正好形成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱形狀的紙盒，G、H分別在AB、AF上，是被切去的一個(gè)四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)AG=AH=x（cm）．（1）若要求紙盒的側(cè)面積S（cm²）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？
（2）若要求紙盒的容積V（cm³）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求此時(shí)紙盒的高與底面邊長(zhǎng)的比．

Answer 1

分析：（1）由AG=AH=x，得到正六棱柱的底面正六邊形的邊長(zhǎng)為（30-2x），因?yàn)檎�六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120°，由此可解得正六棱柱的高為

3

x，然后直接利用正六棱柱的側(cè)面積公式寫出側(cè)面積，運(yùn)用二次函數(shù)求最值；
（2）求出邊長(zhǎng)為（30-2x）的正六邊形的面積，則紙盒的容積V可求，求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)求最大值，并求出當(dāng)容積最大時(shí)的x的值，從而得到紙盒的高與底面邊長(zhǎng)的比．

解答：解：（1）由平面圖形知，正六棱柱的底面正六邊形的邊長(zhǎng)為（30-2x），
根據(jù)平面圖形中的小陰影四邊形的最大角為∠HAG=120°，可得正六棱柱的高為

3

x，
所以紙盒的側(cè)面積S=6•(30-2x)•

3

x=12

3

x(15-x)，x∈（0，15），
因?yàn)樵摱�次函�?shù)開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸方程為x=

15

2

，
所以當(dāng)x=

15

2

cm時(shí)，側(cè)面積S最大，最大側(cè)面積為

225 3

2

（cm²）． 
（2）因紙盒的底面是邊長(zhǎng)為（30-2x）的正六邊形，
所以底面積為S=

1

2

×(30-2x)×

3

2

×(30-2x)=

3

4

(30-2x)2．
所以紙盒的容積V=6×

3

4

(30-2x)2•

3

x=

9

2

(4x3-120x2+900x)，x∈（0，15），
由V′(x)=

9

2

(12x2-240x2+900)=0，得x=5，或x=15（舍去），
列表：

x	（0，5）	5	（5，15）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↗	極大值9 000	↘

所以當(dāng)x=5cm時(shí)，容積V最大，此時(shí)紙盒的高與底面邊長(zhǎng)的比為

5 3

30-2×5

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了正六邊形的面積的求法，解答此題的關(guān)鍵是用x表示紙盒的高，同時(shí)需要注意的是實(shí)際問(wèn)題要注明有實(shí)際意義的定義域，此題是中檔題．