Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABF⊥平面CDE；
（2）設(shè)AC=2m，當(dāng)m為何值時(shí)？使得平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°．

Answer 1

分析：（1）要證明平面ABF⊥平面CDE可利用面面垂直的判定定理即找其中一個(gè)平面的一條垂線即可而根據(jù)題中的條件CD即為面ABF的一條垂線故可得證．
（2）可根據(jù)AB⊥平面ACD，DE∥AB可得△ACD是△BCE的射影三角形然后利用射影三角形與二面角的關(guān)系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

就可得到關(guān)于m的關(guān)系式即可求出m的值．

解答：解：（1）∵AB⊥面ACD
∴AB⊥CD
又∵△ACD是正三角形且F是CD的中點(diǎn)
∴AF⊥CD
∵AB∩AF=A
∴CD⊥面ABF
∵CD⊆面CDE
∴平面ABF⊥平面CDE
（2）∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥面ACD
∴△ACD是△BCE的射影三角形
∵平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°
∴cos45°=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

∵AC=2m，DE=2AB=2

∴如圖連接CE，過B作BG∥AD
則由于AB⊥平面ACD，DE⊥面ACD則BC=

AC2+AB2

=

4m2+1

，CE=

CD2+DE2

=2

m2+1

，BE=

BG2+GE2

=

4m2+1

∴△BCE的高h(yuǎn)=

BE2-( CE 2 )2

=

3

m
∴cos45°=

3 4 (2m)2

1 2 ×2 m2+1 × 3 m

∴2m²=m²+1
∴m=1即當(dāng)m=1時(shí)平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察面面垂直的證明和二面角的應(yīng)用，屬較難題型．解題的關(guān)鍵是面面垂直的證明常選用面面垂直的判定定理來證明而對(duì)于第二問來說再利用射影三角形與二面角的關(guān)系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

之前得出△ACD是△BCE的射影三角形就顯得尤為重要了!