Question

已知三角形△ABC的三個頂點分別為A（-1，0），B（1，0），C（0，1）．
（1）動點P在三角形△ABC的內部或邊界上，且點P到三邊AC，AB，BC的距離依次成等差數列，求點P的軌跡方程；
（2）若0＜a≤b，直線l：y=ax+b將△ABC分割為面積相等的兩部分，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設P（x，y），由題意知

|x-y+1|

2

+

|x+y-1|

2

=2|y|，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）當b=a時，直線l的方程為y=a（x+1），過定點A（1，0），直線l過三角形的重心（0，

1

3

）；當b＞a時，令y=0，得x=-

b

a

，故直線l與兩邊BC，AC分別相交，由面積之比等于相似比的平方，得b＞1-

2

2

．由此能求出實數b的取值范圍．

解答： 解：（1）設P（x，y），
由題意知

|x-y+1|

2

+

|x+y-1|

2

=2|y|，
∵x+y-1≥0，x+y-1≤0，y≥0，
∴

x-y+1

2

-

x+y-1

2

=2y，
整理，得y=

2

-1（

2

-2＜x＜2-

2

）．
（2）當b=a時，直線l的方程為y=a（x+1），過定點A（1，0），
由平面幾何知識知直線l過三角形的重心（0，

1

3

），
∴b=a=

1

3

；
當b＞a時，
令y=0，得x=-

b

a

，故直線l與兩邊BC，AC分別相交，
設其交點分別為D，E，
當a不斷減小時，為保持小三角形面積總為原來的一半，
則b也不斷減小，
當DE∥AB時，△CDE∽△CBA，
由面積之比等于相似比的平方，
得b＞1-

2

2

．
綜上，實數b的取值范圍是（1-

2

2

，

1

3

]．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．