Question

已知圓C的方程為：x²+y²-4mx-2y+8m-7=0，（m∈R）．
（Ⅰ）試求m的值，使圓C的面積最��；
（Ⅱ）求與滿足（1）中條件的圓C相切，且過點（4，-3）的直線方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）將圓化為標準方程，將右邊配方，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)所求直線方程為y+3=k（x-4），利用直線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式，建立方程，即可求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）配方得圓的方程為（x-2m）²+（y-1）²=4（m-1）²+4．
當(dāng)m=1時，圓的半徑最小，此時圓的面積最�。�…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．
當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0．
由直線與圓相切，所以

|2k-1-4k-3|

k2+1

=2，
解得k=-

3

4

．
所以切線方程為y+3=-

3

4

（x-4），即3x+4y=0．…（10分）
又過（4，-3）點，且與x軸垂直的直線x=4，也與圓相切．
所以所求直線方程為3x+4y=0及x=4．…（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運用直線與圓相切是解題的關(guān)鍵．