Question

5．對于函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x（x∈R）有以下幾種說法：
（1）（$\frac{π}{12}$，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心；
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
（3）函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增．
（4）y=f（x）的一條對稱軸$x=\frac{π}{3}$：其中說法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，分析函數(shù)的對稱性，周期性和單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=0，故（$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心，故（1）錯誤；
函數(shù)f（x）的最小正周期是π，故（2）錯誤；
由2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z
當(dāng)k=0時(shí)，[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]是函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故（3）正確．
當(dāng)$x=\frac{π}{3}$時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1．故y=f（x）的一條對稱軸$x=\frac{π}{3}$，故（4）正確．
故選：C

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了和差角公式，降次升角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．