Question

20．已知P是拋物線y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0和直線x=-2的距離之和的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 由題意可知：點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離為丨PA丨，點(diǎn)P到x=-2的距離為丨PD丨=丨PB丨+1，則點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0和x=-2的距離之和為丨PF丨+丨PA丨+1，當(dāng)A，P和F共線時(shí)，點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0和直線x=-2的距離之和的最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案．

解答 解：由拋物線的方程，焦點(diǎn)F（1，0），
準(zhǔn)線方程=-1，根據(jù)題意作圖如右圖，
點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離為丨PA丨，
點(diǎn)P到x=-2的距離為丨PD丨=丨PB丨+1；
而由拋物線的定義知：丨PB丨=丨PF丨，
故點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0和x=-2的距離之和為
丨PF丨+丨PA丨+1，
而點(diǎn)F（1，0），到直線l：2x-y+3=0的距離為$\frac{丨2-0+3丨}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
P到直線l：2x-y+3=0和直線x=-2的距離之和的最小值$\sqrt{5}$+1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義的應(yīng)用及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．