Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大�。�

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）連接BD，證明平面PBE內(nèi)的直線(xiàn)BE，垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)PA，AB即可證明平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連接PF．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大�。�

法二：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）由，與平面PAB的一個(gè)法向量是=（0，1，0），
共線(xiàn)，說(shuō)明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求出平面PBE的一個(gè)法向量，平面PAD的一個(gè)法向量，求兩個(gè)向量的數(shù)量積，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．
解答：解：解法一（Ⅰ）如圖所示，連接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形．
因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB∥CD，
所以BE⊥AB．又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連接PF．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，
由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．
在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP．
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG．
則AG⊥PF．連接HG，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，PF⊥HG．
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二：如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
，，P（0，0，2），
（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185519178698409/SYS201310241855191786984020_DA/9.png">，
平面PAB的一個(gè)法向量是，
所以共線(xiàn)．從而B(niǎo)E⊥平面PAB．
又因?yàn)锽E?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知，
設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，
則由
得
所以y₁=0，x₁=2z₁．故可取=（2，0，1）．
設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，
則由
得
所以故可取．
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．