Question

（2012•楊浦區(qū)二模）設a∈R，f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+2x-

4

2x+1

-1的零點；
（2）設g（x）=2log₂（

1+x

k

），若不等式f^-1（x）≤g（x）在區(qū)間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，可求a，進而可求f（x）
（1）令F（x）=0可求函數(shù)F（x）的零點
（2）由f^-1（x）≤g（x）恒成立，可得log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

恒成立，可得k²≤1-x²，x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，只要k²≤（1-x²）_min即可求解

解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（0）=0
∴a=1，f（x）=

2x-1

2x+1

（1）F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

1+2x

-1=

22x+2x-6

1+2x

由2^2x+2^x-6=0=0，可得2^x=2，所以，x=1，
即F（x）的零點為x=1．
（2）f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，在區(qū)間[

1

2

，

2

3

]上，由f^-1（x）≤g（x）恒成立，
∴log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

恒成立，即

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2恒成立
即k²≤1-x²，x∈[

1

2

，

2

3

]，
∴k2≤

5

9

所以-

5

3

≤k≤

5

3

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質在函數(shù)的解析式的求解中的應用，函數(shù)的零點的求解以及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互的轉化